Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Роль, предмет и основные задачи курса начертательной геометрии

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Роль, предмет и основные задачи курса начертательной геометрии

В ряду геометрических наук особое место занимает начертательная (дескриптивная) геометрия — один из разделов геометрии, особенностью которой, отличающей ее от других направлений геометрической науки, является графический метод отображения и исследования геометрических задач и закономерностей с помощью чертежа, т.е. в начертательной геометрии именно чертеж является основным средством, с помощью которого изучаются свойства фигур.

Исключительное значение чертежа в начертательной геометрии обусловливает ряд требований, предъявленных к нему.

Наиболее существенными из этих требований являются следующие:

1. обратимость — свойство чертежа (изображения), позволяющее по нему однозначно восстановить действительную форму и размеры предмета, а также его положение в пространстве;
2. наглядность — свойство чертежа, дающее возможность легко составить по нему пространственное представление о предмете;
3. единство условностей, принятых при выполнении изображения: они должны быть такими, чтобы каждый человек мог прочесть чертеж, выполненный другим лицом;
4. геометрическую равноценность оригиналу, т.е. чертеж должен обеспечивать возможность выполнения на изображении тех же геометрических операций, которые выполнимы па самом предмете.
5. точность графических решений.

Основное содержание курса начертательной геометрии сводится к следующим основным задачам:

1. Исследование и изучение законов перехода от пространственного представления геометрических фигур к ее планиметрическому изображению (чертежу) на плоскости.
2. Исследование и изучение законов воспроизведения в пространстве элементов геометрической формы по данному планиметрическому изображению (чертежу).
3. Изучение и исследование методов графического решения пространственных задач с помощью изображений (чертежей).

В связи с этим определение предмета начертательной геометрии можно сформулировать так: начертательная геометрия является математической наукой о методах построения плоских геометрических моделей трехмерного пространства и способах решения задач геометрического характера (позиционных, метрических и конструктивных) с их помощью.

Позиционными задачами называются задачи на взаимную принадлежность и пересечение геометрических тел, метрическими — на определение натуральных величин линейных или угловых параметров фигур. Построение геометрических тел, отвечающих заданным условиям, составляет содержание конструктивных задач.

Геометрических фигур много, однако к основным (базовым) фигурам геометрического пространства относятся обычно всего лишь три: точка, прямая и плоскость. Геометрическим пространством в геометрии принято называть совокупность однородных объектов. Чаще всего оно состоит из множества точек, прямых и плоскостей. В зависимости от свойств объектов геометрическое пространство наделяется различными свойствами. Так, евклидово пространство использует систему аксиом Евклида-Гильберта.

Любая геометрическая фигура любой степени сложности может быть представлена как совокупность базовых фигур: точки могут быть вершинами, прямые — ребрами, отсеки плоскостей — гранями. Часть плоскости, ограниченная лежащей в ней замкнутой линией, называется отсеком.

Принятые обозначения для изучения начертательной геометрии

Точки в пространстве — прописные буквы латинского алфавитаили цифрами 1,2,3 ….

Произвольные линии с пространстве — строчные буквы латинского алфавита….

Прямые, параллельные плоскостям проекций — горизонтали —, фронтали —, профильные прямые.

Плоскости общего положения, поверхности — заглавные буквы греческого алфавита…

Плоскости проекций — буква греческого алфавитас добавлением нижнего индекса 1,2,3…

Основные плоскости проекций: горизонтальная —фронтальная, профильная —.

Проекции точек, прямых и плоскостей на чертеже обозначаются теми же буквами, что и в пространстве, с добавлением подстрочного индекса 1, 2, 3, соответствующего плоскости проекций, на которой они получены.

Прямая общего положения чертеж. Прямая общего положения.

Прямая общего положения  - это прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, пересекает все 3 плоскости.

Прямые частного положения.

Прямые частного положения - это прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций.

4 . Параллельными  называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Пересекающимися   называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Скрещивающимися   называются две прямые не лежащие в одной плоскости .

5. Прямая уровня – прямая, параллельная какой-либо из плоскостей проекций.

Горизонталь - Параллельна горизонтальной плоскости проекций (Z_A=Z_B)

6. Проецирующая прямая - Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций.

7. Метод прямоугольного треугольника.

Метод прямоугольного треугольника служит для определения величины отрезка и его углового наклона к плоскостям проекций. - Первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций;

- Из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций;

- Гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка;

- Угол наклона отрезка к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией на эту плоскость проекций.

8 . Параллельные прямые

Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые

9. Способ вращения.  Способ вращения заключается в том, что отрезок прямой линии или плоскую фигуру вращают вокруг выбранной оси до положения, параллельного плоскости проекций.

10. Сущность метода замены плоскостей проекций состоит в том, что предмет остается неподвижен, а плоскости проекций принимают положение, удобное для решения задачи.

11.

Фронтально-проецирующая Прямая. Проецирование прямой в начертательной геометрии с примерами

Проецирование прямой:

Аксиома евклидовой геометрии гласит: «Через две точки проходит единственная прямая» . В связи с этим построение проекций прямой линии на КЧ сводится к построению двух точек ей принадлежащих (рис. 2.5.).

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой.

На рис. 2.6.а построены следы прямой – горизонтальный след и фронтальныйТакже на КЧ прямая может быть задана непосредственно своими проекциями (рис. 2.6 б).

Положение прямой относительно плоскостей проекций

По расположению прямых относительно плоскостей проекций различают прямые общего и частного положения. Прямые не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций называются прямыми общего положения. На КЧ ни одна из проекций прямой общего положения не  параллельна осям проекций (или не перпендикулярна линиям связи) (рис. 2.5, 2.6).

Прямые частного положения подразделяются на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций называются прямыми уровня.

Существует три вида прямых уровня: горизонталь, фронталь и профильная прямая.

1. Горизонталь ( h)– прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.7).

Признаки и свойства горизонтали:

1. На КЧ фронтальная проекция горизонтали располагается параллельно оси х (или в безосном чертеже перпендикулярно линиям связи).
2. На горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения отрезок принадлежащий горизонтали и углы наклона ее к фронтальной и профильной плоскостям проекций.

2. Фронталь (f) – прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций (рис.2.8)

Признаки и свойства фронтали:

1. На КЧ горизонтальная проекция фронтали располагается параллельно оси х (или в безосном чертеже перпендикулярно линиям связи).
2. На фронтальную плоскость проекций проецируются без искажения отрезок принадлежащий фронтали и углы наклона ее к горизонтальной и профильной плоскостям проекций.

3. Профильная прямая – прямая, параллельная профильной плоскости проекций.

Признаки и свойства профильной прямой:

1. На КЧ фронтальная и горизонтальная проекция отрезка профильной прямой располагаются перпендикулярно оси х.
2. На профильную плоскость проекций проецируются без искажения отрезок принадлежащий профильной прямой и углы наклона ее к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций называются проецирующими прямыми.

Существует три вида проецирующих прямых: горизонтально- проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующие прямая. Проекцией проецирующей прямой на плоскость проекций к которой она перпендикулярна, является точка (след прямой).

1. Горизонтально-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций.

• Заказать чертежи

2. Фронтально-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

3. Профильно-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Деление отрезка в заданном отношении

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Используя эту теорему можно легко разделить любой отрезок в заданном отношении.

Натуральная величина отрезка прямой общего положения. Метод прямоугольного треугольника

В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того, чтобы найти его натуральную величину необходимо провести ряд преобразований. Существует несколько методов нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций. Одним из этих методов является метод прямоугольного треугольника, в котором находится зависимость длины проекции отрезка от его истинной величины.

Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций. Через точку А проведем линию, параллельную плоскости Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник один из катетов которого (АВ’)  равен длине проекции отрезка, а угол, между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций (рис. 2.14).

Прямая общего положения пример. Определение натуральной величины прямой

Так как прямая общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением, то задача определения натуральной величины (НВ) прямой по её проекциям является важной. С целью определения НВ прямой разработан метод прямоугольного треугольника, сущность которого понятна из пространственного чертежа (рисунок 2.4а).

Для того, чтобы определить натуральную величину прямой по её проекциям, необходимо на одной из её проекций (на любой) построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого является сама проекция, а другим катетом - разность недостающих координат концов отрезка прямой. Тогда гипотенуза треугольника будет являться НВ прямой (рисунок 2.46). Недостающей координатой здесь названа та координата, которая не участвует в построении той или иной проекции прямой. Так, например, горизонтальная проекция прямой строится по координатам X и Y её концов.

Координата Z в построениях не участвует и называется недостающей координатой. Таким образом, при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой на катете откладывают разность аппликат, а при построении на фронтальной проекции - разность ординат.

При определении НВ прямой методом прямоугольного треугольника одновременно можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций (углы а° иОни определятся как углы между гипотенузой и соответствующей проекцией прямой.

Следы прямой

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. В точках следов прямая переходит из одного октанта в другой. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы прямой и их соответствующие проекции. На рисунке 2.5 показаны пространственные чертежи прямых общего и частного положения и образование их следов. Прямые, параллельные плоскостям проекций, имеют только два следа, а прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, - один след, совпадающий с той проекцией прямой, на которой она проецируется в точку.

Из пространственных чертежей следует методика построения проекций следов прямой на эпюре (рисунок 2.6).

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве    могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися и перпендикулярными.

Пространственные чертежи    и эпюры    параллельных и пересекающихся прямых представлены на рисунке 2.7а, б.

Признаком параллельных прямых на эпюре является параллельность их одноименных проекций.

Пересекающимися прямыми называются прямые, которые имеют общую точку - точку пересечения. Признаком пересекающихся прямых на эпюре является то, что проекции точки пересечения находятся на одной линии связи.

Частным случаем пересекающихся прямых являются перпендикулярные прямые. В соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямой угол будет проецироваться на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда одна из его сторон будет параллельна этой плоскости проекций (Рисунок 2.8).

Cкрещивающимися прямыми называются непараллельные прямые, не имеющие общей точки. Скрещивающиеся прямые в пространстве не пересекаются, но на эпюре их одноименные проекции накладываются друг на друга, что создает впечатление пересечения. Признаком скрещивающихся прямых на проекциях является то, что проекции их мнимых точек пересечения не находятся на одной линии связи (рисунок 2.9а). В мнимых точках пересечения конкурируют две точки, принадлежащие разным прямым, или, другими словами, в мнимых точках конкурируют две прямые. Назовем эту область конкурирующим местом.

При рассмотрении скрещивающихся прямых возникает вопрос о видимости проекций прямых в конкурирующих местах. Этот вопрос может быть решен методом конкурирующих точек (конкурирующих прямых).

Сущность метода заключается в следующем:

1. Отметить конкурирующее место на рассматриваемой проекции;
2. Обозначить конкурирующие точки или записать, какие прямые конкурируют;
3. Провести через конкурирующее место линию связи;

Так на рисунке 2.96 на горизонтальной проекции будет видна точка 1, принадлежащая прямой AВ, или, проще говоря, прямая АВ, так как аппликата прямой АВ вдоль линии связи наибольшая. На фронтальной проекции также будет видна прямая AВ. так как у неё в конкурирующем месте наибольшая ордината.

Метод конкурирующих точек (прямых) используется и при определении видимости проекций прямой и плоскости, двух плоскостей, прямой и поверхности, ребер многогранников и т.д. При этом считается, что плоскости и поверхности геометрически непрозрачны, а видимость прямой в точке встречи с плоскостью или в точках встречи с поверхностью меняется.

Прямая общего положения это. Прямая линия. Способы графического задания прямой линии.

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Классификация прямых

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

Рисунок 1. Прямая общего положения.

Эпюрный признак прямой общего положения: проекции прямой не параллельны осям проекций (x,y,z)

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются . В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются или (рис.2). На горизонтальную плоскость проекций они проецируются в натуральную величину..

Эпюрный признак

или (рис.). Эпюрный признак

(рис.4).Эпюрный признак

Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим.  В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. прямая - .рис.( 5)

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.6)

прямая - АВ (рис.7)

Если точка принадлежит прямой, то её проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке 8 точек, только одна точка С лежит на прямой , так как отвечает требованиям аксиомы.

Профильная Прямая уровня. Частные случаи положения прямой

К частным случаям положения прямой относят прямые: параллельные одной из плоскостей координат, перпендикулярные к одной из плоскостей координат, лежащие в плоскости координат, совпадающие с осью координат.

Прямая, параллельная какой - либо плоскости координат, проецируется на эту плоскость в истинную величину. Это очевидно, так как(Рис.2.2, а) и, следовательно,- как противоположные стороны прямоугольника.

Для прямоугольных проекций прямой, параллельной плоскости(горизонтали) (см. Рис.2.2, б), характерно, что  Отсюда следует: любая прямая, фронтальная проекция которой параллельна оси, параллельна плоскости Горизонтальная проекция горизонтали (ГПГ) -истинная длина отрезка.

Аналогично, любая прямая горизонтальная проекциякоторой параллельна оси, параллельна плоскости(фронталь) (Рис.2.3, а, б). Фронтальная проекция фронтали (ФПФ) - истинная длина отрезка.

Прямым, параллельным плоскостям координат, принято давать общее название линий уровня.

Прямая, перпендикулярная к какой-либо плоскости координат (проецирующая прямая), параллельна оси координат, перпендикулярной к этой плоскости. Например, прямая, перпендикулярная к плоскостипараллельна осиГоризонтальная проекция такой прямой (Рис.2.4, а, б) - точка. Фронтальная и профильная проекции прямой, перпендикулярной к плоскости параллельны оси

В общем случае, если прямая перпендикулярна к плоскости координат, то на эту плоскость она проецируется в виде точки, а на две другие плоскости - в истинную длину и параллельно той оси координат, которой параллельна сама прямая.

Если прямая расположена в плоскости координат, то её проекция на эту плоскость совпадает с самой прямой, а две другие проекции совпадают с осями координат.

Если прямая совпадает с осью координат, то две её проекции совпадают с самой прямой, а на плоскость, перпендикулярную этой оси, прямая спроецируется точкой в начало координат.