Точка и прямая в начертательной геометрии с примерами. Проекции точек

Точка и прямая в начертательной геометрии с примерами. Проекции точек

На рисунке 14.1 изображена горизонтальная основная плоскость

Точка А находится над плоскостью на высоте четырех единиц масштаба.

Точка С лежит на плоскостипоэтому ее проекция - С0.

Точка В находится под плоскостью, поэтому ее проекция -, где отметка 2 со знаком (-).

Для перехода к плоскому чертежу, плоскость По совмещается с плоскостью чертежа, граница плоскости не указывается. На чертеже обязательно указывается масштаб. Числовая отметка каждой точки, по сути, заменяет фронтальную проекцию, т.е. соответствует координате Z (рисунок 14.2).

Проекции прямых. Определение натуральной величины и следа отрезка примой

Прямая линия в проекциях с числовыми отметками задается своей проекцией на основную плоскость и отметками двух ее точек (рисунке 14.3). Эта прямая является прямой

общего положения. Для нее можно, как и в ортогональных проекциях, определить натуральную величину, след на плоскостии углом наклона к плоскости. Если прямую А В совместить с плоскостьювращением вокруг проекцииполучим натуральную величину. При этом высоты точек необходимо в масштабе чертежа отложить на перпендикулярах к проекции прямой. Прямая, соединяющая полученные точки равна истинной величине отрезка. Точка пересечения натуральной величины отрезка с ее проекцией является горизонтальным следом. Угол между натуральной величиной и проекцией (

Градуирование прямой

Градуирование прямой - построение на проекции прямой последовательного ряда точек с разностью отметок равной единице.

Если концы отрезков имеют целые числовые отметки, то градуирование можно произвести делением отрезка на равные части (рисунок 14.4).

В противном случае лучше использовать способ “палетки“. Для этого параллельно прямой, проводим ряд прямых, отстоящих друг от друга на равном расстоянии произвольной величины (рисунок 14.5). Принимаем их за линии уровня и на перпендикулярах находим положение концов отрезка, аналогично нахождению натуральной величины. Отрезок АВ пересекаясь с горизонталями даст положение точек с целями числовыми отметками, которые перепроицируем на проекцию прямой.  

Интервал и уклон прямой

Расстояние между двумя точками горизонтальной проекции называется горизонтальным проложенном L. На рисунке 14.6 —А расстояние измеренное по вертикали между этими точками, т.е. разность высот называется превышением

Уклоном прямой называется, отношение превышения и горизонтальному положению. На рисунке 14.6

Фактически это тангенс угла наклона прямой к основной плоскости

Интервал прямой - это заложение при превышении равном единице

Из этих отношений видно, что интервал величина обратная уклону:

Прямую таким образом можно задать направлением прямой, проекцией одной точки и ее интервалом или уклоном.

Прямые частного положения (рисунок 14.7)

Если прямая параллельна плоскости, то она задается двумя точками с одинаковыми отметками (прямая АВ), вертикальная же прямая, т.е. перпендикулярная к плоскостизадается точкой с двумя разными отметками (прямая CD).  

Взаимное положение двух прямых

Рассмотрим условия, при которых прямые будут взаимно параллельны, пересекающиеся или скрещивающие.

Прямые взаимно параллельны , когда их проекции параллельны, уклоны (интервалы) взаимно равны и отметки возрастают в одну сторону (рисунок 14.8).

Если прямые взаимно пересекаются, то их проекции также пересекаются в точке, которая, будучи отнесена к каждой Вз из прямых имеет одинаковую отметку (рисунок 14.9).

Проецирование точки.  Центральное проецирование

Проецирование   (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Центральное  проецирование  заключается в проведении через каждую точку ( А, В, С ,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный  центр проецирования   ( S ) прямой линии ( SA ,  SB ,   >… —  проецирующего луча ).

Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):

S  – центр проецирования (глаз наблюдателя);

π₁ – плоскость проекций;

A, B, C  – объекты проецирования – точки;

SA ,  SB  – проецирующие прямые (проецирующие лучи).

Примечание : левой клавишей мыши можно переместитьКРАСНУЮточку в горизонтальной плоскости, при щелчке на точке левой клавишей мыши, изменится направление перемещения и её можно будет переместить по вертикали.

 
Центральной проекцией точки   называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.

Свойство 1 . Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой.

Докажем это утверждение.

На рисунке 1.1: точка  А ₁– центральная проекция точки А на плоскости проекций π₁. Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой  SA  точку  С . Центральная проекция точки  С  ( С ₁) на плоскости проекций π₁ совпадает с проекцией точки  А  ( А ₁):

1. С ∈    SA ;
2. SC  ∩ π₁= C ₁ →  C ₁ ≡  A ₁.

Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.

Чтобы устранить эту неопределенность, т.е. сделать чертеж обратимым , введём еще одну плоскость проекций (π₂) и ещё один центр проецирования ( S ₂) (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств

Построим проекции точки  А  на плоскости проекций π₂. Из всех точек пространства только точка  А  имеет своими проекциями  А ₁ на плоскость π₁ и  А ₂ на π₂ одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки  А  (например, точка  В ).

Свойство 2 . Проекция прямой есть прямая.

Докажем данное свойство.

Соединим точки  А  и  В  между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок  АВ , задающий прямую. Треугольник Δ SAB  задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π₁= А ₁ В ₁, где  А ₁ В ₁ – центральная проекция прямой, заданной отрезком  АВ .

Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.

Горизонтально-проецирующая прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций

По расположению прямых относительно плоскостей проекций различают прямые общего и частного положения. Прямые не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций называются прямыми общего положения. На КЧ ни одна из проекций прямой общего положения не  параллельна осям проекций (или не перпендикулярна линиям связи) (рис. 2.5, 2.6).

Прямые частного положения подразделяются на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций называются прямыми уровня.

Существует три вида прямых уровня: горизонталь, фронталь и профильная прямая.

1. Горизонталь ( h)– прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.7).

Признаки и свойства горизонтали:

1. На КЧ фронтальная проекция горизонтали располагается параллельно оси х (или в безосном чертеже перпендикулярно линиям связи).
2. На горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения отрезок принадлежащий горизонтали и углы наклона ее к фронтальной и профильной плоскостям проекций.

2. Фронталь (f) – прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций (рис.2.8)

Признаки и свойства фронтали:

1. На КЧ горизонтальная проекция фронтали располагается параллельно оси х (или в безосном чертеже перпендикулярно линиям связи).
2. На фронтальную плоскость проекций проецируются без искажения отрезок принадлежащий фронтали и углы наклона ее к горизонтальной и профильной плоскостям проекций.

3. Профильная прямая – прямая, параллельная профильной плоскости проекций.

Признаки и свойства профильной прямой:

1. На КЧ фронтальная и горизонтальная проекция отрезка профильной прямой располагаются перпендикулярно оси х.
2. На профильную плоскость проекций проецируются без искажения отрезок принадлежащий профильной прямой и углы наклона ее к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций называются проецирующими прямыми.

Существует три вида проецирующих прямых: горизонтально- проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующие прямая. Проекцией проецирующей прямой на плоскость проекций к которой она перпендикулярна, является точка (след прямой).

1. Горизонтально-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций.

• Заказать чертежи

2. Фронтально-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

3. Профильно-проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Прямая общего положения. Прямая линия. Способы графического задания прямой линии.

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Классификация прямых

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

Рисунок 1. Прямая общего положения.

Эпюрный признак прямой общего положения: проекции прямой не параллельны осям проекций (x,y,z)

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются . В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются или (рис.2). На горизонтальную плоскость проекций они проецируются в натуральную величину..

Эпюрный признак

или (рис.). Эпюрный признак

(рис.4).Эпюрный признак

Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим.  В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. прямая - .рис.( 5)

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.6)

прямая - АВ (рис.7)

Если точка принадлежит прямой, то её проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке 8 точек, только одна точка С лежит на прямой , так как отвечает требованиям аксиомы.

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Классификация прямых

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

Эпюрный признак прямой общего положения

Проецирования прямой не параллельны осям проецирования (x, y, z)

Прямые параллельные плоскостям проецирования

Прямые, параллельные плоскостям проецирования, занимают частное положение в пространстве и называются . В зависимости от того, какой плоскости проецирования параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проецирования

Прямые, параллельные горизонтальной плоскости проецирования, называются или (рис.2). На горизонтальную плоскость проецирования они проецируются в натуральную величину.

2.2. Прямая перпендикулярная одной плоскости проецирования, параллельна двум другим

В зависимости от того, какой плоскости проецирования перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. Прямая - .

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ

Прямая - АВ

Если точка принадлежит прямой, то её проецирования принадлежат одноименным проецирования этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой)

Из четырех предложенных на рисунке 8 точек, только одна точка С лежит на прямой, так как отвечает требованиям аксиомы.

Прямая и точка в плоскости

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относят: проведение любой прямой в плоскости, построение в плоскости некоторой точки, построение недостающей проекции точки, проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости или ей параллельной. При этом используется известное условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.

Проведение любой прямой в плоскости. Для этого достаточно (рис. 3.10) на проекциях плоскости взять проекции двух точек, например, А", А' и 1", Г и через них провести А"1", ΑΊ' проекции прямой А – I. На рис. 3.11 проекции В" 1", В'Г прямой проведены параллельно проекциям А "С ",А'С' стороны AC треугольника, заданного проекциями А "В"С",А 'В'С'. Прямая В – 1 принадлежит плоскости треугольника АВС.

Построение в плоскости некоторой точки. Для построения в плоскости точки в ней

Рис. 3.10

Рис. 3.11

Рис. 3.12

проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку. На чертеже (рис. 3.12) плоскости, заданной проекциями А", А' точки и В "С", В 'C' прямой, проведены проекции А" 1",А' 1' вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции D", D' точки D, принадлежащей плоскости.

Построение недостающей проекции точки. На рис. 3.13 плоскость задана проекциями А "В "С", A 'B 'C' треугольника. Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией D". Следует достроить горизонтальную проекцию точки D. Ее строят с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку D. Для этого проводят, например, фронтальную проекцию В" I "D" прямой, строят ее горизонтальную проекцию В' Г и на ней отмечают горизонтальную проекцию D' точки.

Рис. 3.13

Рис. 3.14

Проверка принадлежности точки плоскости. Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Так, на рис. 3.14 плоскость задана проекциями А "В", А'В' и C"D", C'D' параллельных прямых, точка – проекциями Е", Е'. Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, фронтальная проекция / "2" вспомогательной прямой проходит через проекцию Е ". Построив горизонтальную проекцию / '2' вспомогательной прямой, убеждаемся, что горизонтальная проекция Е' точки не принадлежитей. Следовательно, точка Е не принадлежит плоскости.

Горизонтальная прямая уровня. Горизонтальная прямая

Горизонтальная прямая (горизонталь) - прямая параллельная горизонтальной плоскости проекции: h ║ H .

Горизонтальная прямая имеет все точки удаленными на одинаковое расстояние от плоскости H : - фронтальная проекция любой горизонтали параллельна оси x : h" ║ x ; - профильная проекция горизонтальной прямой - оси y : h"` ║ y ; - горизонтальная проекция горизонтальной прямой может занимать любое положение.

Приведенная запись означает: для множества точек A , принадлежащих прямой h , аппликата есть величина постоянная, характеризует удаление точек от горизонтальной плоскости проекций.

Горизонтальная прямая h –

имеет следующие признаки и свойства на эпюре (КЧ): 1) Фронтальная проекция горизонтали h" располагается параллельно оси O_х(или в безосном чертеже перпендикулярно линиям связи); 2) На горизонтальную плоскость проекций без искажения проецируются: - отрезок, принадлежащий горизонтали h : |A`B`|=|AB|; - углы наклона его к фронтальной (β) и профильной (γ) плоскостям проекций.

Горизонтальная прямая относится к Частному случаю расположения прямой

Кроме общего положения, прямая по отношению к заданной системе плоскостей проекций может занимать частное положение. Прямые частного положения подразделяются на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, называются прямыми уровня. Существует три вида прямых уровня: горизонтальная прямая (горизонталь), фронталь и профильная прямая.

К числу частных случаев расположения прямых можно отнести и прямые, лежащие непосредственно в плоскостях проекций. Их называют прямыми нулевого уровня.

На рисунке приведена горизонтальная прямая нулевого уровня: горизонталь h располагается на горизонтальной плоскости проекций, следовательно ее фронтальные проекции находятся на оси O_x.

По расположению относительно плоскостей проекций бывают прямые частного положения: Фронтальная прямая; Профильная прямая; Проецирующие прямые.